Целые числа — это одна из основных групп чисел, которая отражает понятие целочисленности. В значении этого понятия важное значение имеет отсутствие дробной части. Они являются расширением натуральных чисел, включая нулевое значение, и отображаются на числовой прямой.
Основные свойства целых чисел включают в себя знак и значение. Таким образом, чтобы определить целое число, необходимо указать, является ли оно положительным или отрицательным, а также указать его числовое значение. Например, -9 и +4 — целые числа, где -9 является отрицательным, а +4 — положительным целым числом.
Для задания целых чисел принято использовать символ «−» перед отрицательными числами, чтобы отличить их от положительных чисел. Модули изменений отсчета на координатной оси также являются целыми числами. Таким образом, целые числа обладают общими свойствами и значениями как для положительных, так и для отрицательных чисел.
Целые числа: основные определения, примеры
Целые числа обозначаются символом ℤ (полностью написанным: Z), который происходит от немецкого слова «zahl», что означает «число». В matematize.ru ℤ обозначается также oZ.
Определение целых чисел
Определение целых чисел основано на системе координатной оси, которая используется для представления чисел на прямой линии. Ноль (0) является точкой отсчета, положительные числа расположены справа от нуля, а отрицательные числа — слева от нуля.
Целые числа: неположительные и положительные значения
Натуральные числа являются целыми числами, так как они положительными, а нуль (0) также является целым числом.
Отрицательные числа — это целые числа со знаком «-«, обозначающим отношение числа к нулю. Отрицательные значения целых чисел соответствуют отображению изменения количества предметов или изменения координаты в отрицательном направлении относительно точки отсчета.
Примеры целых чисел
Примеры целых чисел включают в себя:
- Положительные целые числа: 1, 2, 3, 4, 5, …
- Отрицательные целые числа: -1, -2, -3, -4, -5, …
- Ноль: 0
Таким образом, целые числа включают в себя все натуральные числа, нуль и их отрицательные значения, образуя бесконечную числовую линию на координатной оси.
Свойства целых чисел
Целые числа обладают рядом особых свойств, которые определяют их поведение при выполнении различных операций. В этом разделе мы рассмотрим основные свойства целых чисел.
Определение
Целое число — это число, которое может быть как положительным, так и отрицательным, а также нулевым. Оно не имеет дробной части и может быть представлено без ограничений в виде числового значения. Например, -3, 0 и 5 — все они являются целыми числами.
Сложение и вычитание
Любое целое число может быть представлено с помощью операции сложения и вычитания. Например, если пусть x и y — два целых числа, то выражение x + y также является целым числом. Аналогично, разность x — y также будет целым числом. Например, 3 + 2 = 5 и 6 — 3 = 3.
Умножение и деление
Целые числа также можно умножать и делить. Умножение и деление целых чисел дает целое число. Например, 2 * 3 = 6 и 8 / 4 = 2.
Модули и значения
Модуль целого числа — это его абсолютное значение, то есть положительное число, соответствующее данному целому числу. Например, модуль числа -3 равен 3. Любое положительное число является модулем самого себя.
Применение в разных предметах
Целые числа находят свое применение в различных предметах и областях, таких как математика, физика, экономика и программирование. Например, целые числа часто используются для представления количества предметов или величин в пространстве, а также в задании и описании результатов определенных операций.
Расширение чисел
Целые числа можно расширить до натуральных чисел, добавив нулевое число, а также до отрицательных чисел, включая представление отрицательных значений. Например, натуральное число 5 может быть представлено как целое число 5 и как отрицательное число -5.
Целые числа обладают рядом свойств, позволяющих производить с ними различные операции. Они могут быть положительными, отрицательными и нулевыми. Целые числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, при этом результат всегда будет целым числом. Модуль целого числа представляет его абсолютное значение. Целые числа находят свое применение в различных предметах и областях.
Целые числа на оси
Целые числа представляют собой числовое множество, которое включает в себя натуральные числа, положительное число нуля и отрицательные числа.
В контексте координатной оси, целые числа могут быть представлены точками, расположенными на оси. Ось представляет собой прямую линию, где начало координат совпадает с нулем.
Положительные целые числа будут располагаться справа от нуля, а отрицательные — слева от нуля.
Нулевое значение является неположительным числом, которое отстоит от положительных и отрицательных чисел на равное расстояние.
Целые числа также обладают свойствами сложения, вычитания, умножения и деления. Каждая из этих операций может быть выполнена с любым целым числом.
Применение операции сложения к двум целым числам дает в результате целое число.
Натуральные числа и ноль также являются целыми числами. Это расширение определения целого числа.
Использование операции вычитания позволяет получить целое число как разность двух целых чисел.
Умножение целого числа на ноль дает ноль. Также умножение двух целых чисел или целого числа на натуральное число также дает целое число.
Деление одного целого числа на другое может давать неполное частное (частное может быть натуральным или нулем).
Примеры целых чисел: -5, -2, -1, 0, 1, 2, 5.
Целое число без знака пусть будет монетой для задания отсчета. Величина числа, равная количеству одинаковых предметов, называется числом предметов.
Отрицательные числа отличаются от положительных чисел знаком «минус» перед числом.
Отрицательные целые числа служат индикатором изменения направления движения по координатной оси.
Таким образом, целые числа на оси представляют собой натуральные числа, ноль и отрицательные числа.
Целые числа на оси играют важную роль в математике и имеют множество интересных и полезных свойств и операций.
Целые положительные и отрицательные значения
Определение целых чисел
Целыми числами называется обобщенное множество, включающее натуральные числа, отрицательные числа и нуль. Они обозначаются символом ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
Представление отрицательных значений
Пусть натуральные числа будут предметами прямой, на которой задано определение начала отсчета. В использовании отрицательных значений принято представление на координатной прямой, где отрицательные числа находятся над нулевым значением. Таким образом, натуральные числа будут расположены над положительными целыми числами, а отрицательные числа — над натуральными числами.
Сложение и вычитание целых чисел
Целые числа могут быть сложены или вычтены в зависимости от их значения. Сложение целых чисел производится следующим образом: если оба числа положительные, их сумма будет положительным числом; если оба числа отрицательные, их сумма также будет отрицательным числом; иначе, если одно из чисел положительное, а другое отрицательное, их сумма будет общей величиной без изменения знака. Вычитание целых чисел осуществляется путем сложения числа соответствующего знака и обратного значения. Например, вычитание числа -3 из числа 5 будет эквивалентно сложению чисел 5 и 3.
Свойства целых чисел
Операции сложения и вычитания целых чисел обладают следующими свойствами:
- Целое число, сложенное с нулем, будет равно этому целому числу.
- Разность целого числа и нуля будет равна этому целому числу.
- Сумма двух положительных чисел будет положительным числом.
- Сумма двух отрицательных чисел будет отрицательным числом.
- Сумма положительного и отрицательного чисел будет иметь общее значение без изменения знака.
Вычитание целых чисел
Для выполнения вычитания целых чисел используется общее правило, которое определяет изменение знака в зависимости от значений чисел. Если мы вычитаем положительное число из положительного, то результат будет положительным. Если вычитаем положительное число из отрицательного, то результат будет отрицательным. Если вычитаем отрицательное число из положительного, то результат также будет положительным. Если же мы вычитаем отрицательное число из отрицательного, то результат будет отрицательным.
Для наглядного представления вычитания целых чисел можно использовать координатную прямую. Например, при вычитании 3 из 7, мы начинаем с числа 7 и делаем шаг назад на величину 3. Таким образом, получаем число 4. Аналогично, вычитание отрицательных чисел можно представить как движение влево на отрицательную величину.
Вычитание целых чисел связано с операцией сложения. При вычитании можно рассматривать одно число как сумму другого числа и разности. Например, 7 — 3 = 4 можно переписать в виде 3 + 4 = 7.
Основное свойство вычитания целых чисел заключается в том, что вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного числа. Например, 7 — (-3) = 7 + 3 = 10. Здесь отрицательное число -3 заменено на его положительное значение 3.
Примеры вычитания целых чисел:
| Вычитаемое | Вычитающее | Разность |
|---|---|---|
| 5 | 3 | 2 |
| 8 | -2 | 10 |
| -4 | 6 | -10 |
| -7 | -4 | -3 |
Деление целых чисел
В отличие от умножения, которое мы рассматривали ранее, деление целых чисел может быть сложнее из-за наличия отрицательных чисел.
Пусть у нас есть два целых числа: a и b (b ≠ 0). Если a делится нацело на b, то результатом деления является целое число c, такое что a = b × c.
Если a не делится нацело на b, то результат деления будет иметь две части – целую часть и дробную часть.
У целых чисел также принято использование отрицательных значений, поэтому при делении чисел важно учитывать их знаки и модули.
Результатом деления двух положительных (или двух отрицательных) целых чисел будет положительное число. Результатом деления одного положительного и одного отрицательного числа будет отрицательное число.
Для натуральных чисел принято использовать представление на числовой прямой. Основное определение деления – это сумма, равная исходному числу.
Для целых чисел, общими свойствами будут умножение и деление:
- Умножение двух положительных (или двух отрицательных) целых чисел будет давать положительное число.
- Умножение одного положительного и одного отрицательного целого числа даст отрицательное число.
- Результатом деления двух положительных (или двух отрицательных) целых чисел будет положительное число.
- Результатом деления одного положительного и одного отрицательного числа будет отрицательное число.
Важно помнить, что ноль является натуральным числом, но не является положительным или отрицательным числом, поэтому при делении чисел на ноль результат не определен.
Примеры деления целых чисел:
5 ÷ 3 = 1 (остаток 2)
-5 ÷ 3 = -1 (остаток -2)
7 ÷ -2 = -3 (остаток 1)
-7 ÷ -2 = 3 (остаток -1)
Целые числа общее представление
Например, число 5 является целым числом, так как его можно записать как сумму натурального числа 5 и нулевого числа. А число -3 также является целым числом, так как его можно записать как сумму натурального числа 3 и отрицательного числа.
Целые числа можно складывать, вычитать, умножать так же, как и натуральные числа. При сложении двух целых чисел результат будет также целым числом. При вычитании любых двух целых чисел результат также будет целым числом. При умножении числа на целое число, результат также будет целым числом.
Основные свойства целых чисел:
- Числа 0 и 1 являются целыми числами.
- При сложении целых чисел сумма также будет целым числом.
- При вычитании целых чисел разность также будет целым числом.
- При умножении целых чисел произведение также будет целым числом.
- Целое число, умноженное на ноль, равно нулю.
Таким образом, целые числа являются общим представлением для натуральных чисел, нуля и отрицательных чисел. Они обладают свойствами сложения, вычитания и умножения, которые принято задавать в соответствии с общим определением целого числа.
Числа. Целые числа. Свойства целых чисел.
Определение целых чисел
Целое число — это число, которое может быть положительным, отрицательным или нулевым. Они обозначаются без дробной части и могут быть представлены как натуральные числа с противоположным знаком. Например, -3 и 3 являются целыми числами, а 3.5 и -2.8 — нет.
Природа целых чисел
Целые числа являются расширением натуральных чисел, которые состоят только из положительных значений. Ноль также считается целым числом и может быть как положительным, так и отрицательным. Любое неположительное целое число может быть представлено как натуральное число с отрицательным знаком.
Свойства целых чисел
У целых чисел есть основные свойства, которые отличают их от других типов чисел:
| Свойство | Пример |
|---|---|
| Сложение и вычитание | 5 + (-3) = 2 |
| Умножение | 4 * (-2) = -8 |
| Деление | 10 / (-5) = -2 |
| Модули | | -9 | = 9 |
Свойства знака целых чисел также являются основными. У положительных чисел знак «+» является необязательным при записи. У отрицательных чисел знак «-» ставится перед значением. Ноль не имеет знака и может быть представлен как положительным, так и отрицательным числом.